Vector norm

벡터의 놈(norm)은 벡터의 길이 또는 크기를 나타냅니다. 특히 L2 놈 (유클리드 놈, Euclidean norm)은 벡터 공간에서 벡터가 원점으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 측정하는 척도입니다.

주어진 벡터 $x$에 대해, L2 놈은 다음과 같이 정의됩니다:

$$||x|{|}_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$$

즉, 벡터의 각 성분 $x_i$의 제곱을 더한 후 그 합에 제곱근을 취한 값이 L2 놈입니다. 이것은 벡터의 길이를 계산하는 방법으로, 피타고라스의 정리에서 유래된 방식입니다.

벡터 놈의 표기

벡터의 놈은 일반적으로 $||x||$로 표기됩니다. 여기서 놈의 종류에 따라 여러 방식으로 정의될 수 있는데, 대표적으로 L2 놈은 $||x|{|}_2$로, L1 놈은 $||x|{|}_1$로 표기됩니다.

• L2 놈 ($||x|{|}_2$): 가장 일반적으로 사용되는 놈으로, 벡터의 유클리드 거리를 나타냅니다.
• L1 놈 ($||x|{|}_1$): 벡터의 성분 절댓값들의 합을 나타냅니다.

예시

벡터 $x=\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right]$가 있다고 가정해봅시다. 이 벡터의 L2 놈은 다음과 같이 계산됩니다:

$$||x|{|}_2=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$$

따라서, 벡터 $x$의 L2 놈은 $\sqrt{14}$입니다. 이 값은 벡터 $x$의 크기, 즉 원점에서 벡터가 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

벡터 놈의 전개

벡터의 제곱합을 내적을 통해 계산할 수 있습니다. 주어진 벡터 $x$의 L2 놈은 다음과 같이 전개할 수 있습니다:

$$||x|{|}_2^2=x^{\top }x=\sum _{i=1}^n{x}_i^2$$

따라서 벡터 $x$의 놈의 제곱은 벡터와 자기 자신과의 내적 $x^{\top }x$로 표현됩니다. 이 식은 벡터의 각 성분을 제곱한 뒤 그 합을 구하는 방식과 동일합니다.

전개 과정

1. 벡터 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \\ x_n\end{array}\right]$일 때,
2. $x^{\top }x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \\ x_n\end{array}\right]$,
3. 그 결과는 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$입니다.

따라서 벡터 놈의 제곱 $||x|{|}_2^2$는 벡터 성분들의 제곱합과 같고, 이를 통해 놈을 계산할 수 있습니다.

요약

• $||x|{|}_2$는 벡터의 L2 놈으로, 벡터의 길이를 나타내는 척도입니다.
• L2 놈은 $||x|{|}_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$로 정의됩니다.
• 벡터 놈의 제곱 $||x|{|}_2^2$는 벡터의 성분들의 제곱합과 같으며, 이는 내적 $x^{\top }x$로 표현할 수 있습니다.